실근을 갖지 않는 지수방정식의 정수 개수

$\displaystyle \sqrt{3 ^{x}} > 0$, $\displaystyle \sqrt{3 ^{- x}} > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle \sqrt{3 ^{x}} + \sqrt{3 ^{- x}}$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{3 ^{x} \times 3 ^{- x}}$$= 2$ (등호는 $3 ^{x} = 3 ^{- x}$일 때 성립한다.) $\displaystyle \sqrt{3 ^{x}} + \sqrt{3 ^{- x}} = t$ $\left( t \geq 2 \right)$라 하면 주어진 방정식은 $t ^{2} - 2 t + 5 - \left| k - 2 \right| = 0$, $t ^{2} - 2 t + 5 = \left| k - 2 \right|$ $f \left( t \right) = t ^{2} - 2 t + 5$라 하면 $f \left( t \right) = \left( t - 1 \right) ^{2} + 4$ $\left( t \geq 2 \right)$ 즉 $t \geq 2$에서 $f \left( t \right) \geq 5$이므로 주어진 방정식이 실근을 갖지 않으려면 $\left| k - 2 \right| < 5$가 성립해야 한다. $\therefore$ $- 5 < k - 2 < 5$, $- 3 < k < 7$ 따라서 조건을 만족시키는 정수 $k$는 $- 2$, $- 1$, $0$, $\cdots$, $6$ 이므로 그 개수는 $9$다.