실근 조건과 삼각부등식

[출제의도] 삼각함수가 포함된 부등식의 해를 구할 수 있는가? 이차방정식 $x ^{2} - ( 2 \sin \theta ) x - 3 \cos ^{2} \theta - 5 \sin \theta + 5 = 0$ 의 판별식을 $D$라 하면 이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{4} = ( - \sin \theta ) ^{2} - ( - 3 \cos ^{2} \theta - 5 \sin \theta + 5 ) \geq 0$ 이어야 한다. 즉, $\sin ^{2} \theta + 3 \cos ^{2} \theta + 5 \sin \theta - 5 \geq 0$ 이때 $\cos ^{2} \theta = 1 - \sin ^{2} \theta$이므로 $\sin ^{2} \theta + 3 ( 1 - \sin ^{2} \theta ) + 5 \sin \theta - 5 \geq 0$ $2 \sin ^{2} \theta - 5 \sin \theta + 2 \leq 0$ $( 2 \sin \theta - 1 ) ( \sin \theta - 2 ) \leq 0$ $\sin \theta - 2 < 0$이므로 $2 \sin \theta - 1 \geq 0$ $\displaystyle \sin \theta \geq \frac{1}{2}$ 이때 $0 \leq \theta < 2 \pi$이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5}{6} \pi$

따라서 $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6} , \beta = \frac{5}{6} \pi$이므로 ∴ $\displaystyle 4 \beta - 2 \alpha = 4 \times \frac{5}{6} \pi - 2 \times \frac{\pi}{6}$$= 3 \pi$