미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

실근 개수와 지수함수

문제

실수 xx에 대한 33차 방정식 x3−3x=t−2x ^{3} - 3 x = t - 2의 실수 tt의 값에 따른 실근의 개수를 f(t)f ( t )라 하자. 실수 tt에 대한 방정식 f(t)=atf ( t ) = a ^{t}이 실근을 갖게 하는 양의 실수 aa의 최솟값은? (단, a≠1a \ne 1) [4점] ①214\displaystyle 2 ^{\frac{1}{4}}②314\displaystyle 3 ^{\frac{1}{4}}③212\displaystyle 2 ^{\frac{1}{2}}④312\displaystyle 3 ^{\frac{1}{2}}⑤33

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①

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해설

[출제의도] 삼차함수와 지수함수의 그래프의 개형을 그려 실근의 개수를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다. 방정식 x3−3x=t−2x ^{3} - 3 x = t - 2의 실근의 개수는 삼차함수 y=x3−3x+2y = x ^{3} - 3 x + 2의 그래프와 y=ty = t와의 교점의 개수가 되므로 t<0t < 0, t>4t > 4일 때, 실근의 개수=1= 1 0<t<40 < t < 4일 때, 실근의 개수=3= 3 t=0,4t = 0 , 4일 때, 실근의 개수는 22개이므로 함수 y=f(t)y = f ( t )의 그래프는 다음과 같다.

지수함수 y=aty = a ^{t}은 (0,1)( 0 , 1 )을 지나므로 ⅰ) 0<a<10 < a < 1이면 주어진 방정식은 실근을 갖지 않는다. ⅱ) a>1a > 1이면 (4,2)( 4 , 2 )를 지날 때 주어진 방정식은 처음으로 실근을 가진다. 따라서 aa의 최솟값은 214\displaystyle 2 ^{\frac{1}{4}}이다.

태그

#실근의 개수#지수함수

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