실근 개수의 합

[출제의도] 도함수를 활용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $h ( x ) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x$라 하면 $h' ( x ) = 3 x ^{2} - 12 x + 9 = 3 ( x - 1 ) ( x - 3 )$ $h ( x )$는 $x = 1$에서 극댓값을 갖고 $x = 3$에서 극솟값을 갖는 삼차함수이므로 $y = h ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$k$가 자연수일 때 $y = f ( x )$의 그래프는 $y = h ( x )$의 그래프를 $y$축의 음의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 그래프와 같다. $\left| f ( x ) \right| + f ( 3 ) = 0$ 즉 $\left| f ( x ) \right| = - f ( 3 )$의 근의 개수는 $y = \left| f ( x ) \right|$와 $y = - f ( 3 )$의 그래프의 서로 다른 교점의 개수와 같고 교점의 개수는 $\displaystyle \frac{f ( 1 ) + f ( 3 )}{2}$과 0의 대소관계에 따라 달라진다. $\displaystyle \frac{f ( 1 ) + f ( 3 )}{2} = \frac{( 4 - k ) + ( - k )}{2} = 2 - k$ 이므로 (1) $2 - k > 0$, 즉 $k < 2$이면 교점은 5개 : $g ( k ) = 5$

(2) $2 - k = 0$, 즉 $k = 2$이면 교점은 4개 : $g ( k ) = 4$

(3) $2 - k < 0$, 즉 $k > 2$이면 교점은 3개 : $g ( k ) = 3$

따라서 $n \geq 3$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} g ( k ) = 5 + 4 + 3 ( n - 2 )$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} g ( k ) > 100$ 을 만족하는 $n$의 최솟값은 33