실근 개수 연속

$f ( x ) = 2 x ^{3} + ax ^{2} + 6 x - 3$이라 하면 $g ( t )$는 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = t$가 만나는 서로 다른 교점의 개수와 같다. 삼차함수 $f ( x )$가 극값을 가지면 그림과 같이 $t$가 극값과 같을 때를 기준으로 $g ( t )$의 값이 변한다.

따라서 함수 $g ( t )$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 함수 $f ( x )$가 그림과 같이 극값을 갖지 않아야 한다.

$f ( x ) = 2 x ^{3} + ax ^{2} + 6 x - 3$에서 $f' ( x ) = 6 x ^{2} + 2 ax + 6$ $f ( x )$가 극값을 갖지 않으려면 방정식 $f' ( x ) = 0$이 서로 다른 실근을 갖지 않으면 된다. 이차방정식 $f' ( x ) = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 36 \leq 0$에서 $- 6 \leq a \leq 6$ 따라서 구하는 정수 $a$의 개수는 $6 - ( - 6 ) + 1 = 13$개다.