시그마 조건으로 항

[출제의도] 일반항과 부분합과의 관계 이해하기 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = S _{n}$이라 하면, $a _{n} = S _{n} - S _{n-1}$$( n \geq 2 )$이므로 $\displaystyle na _{n} {}_{} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ka _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ka _{k}$$\displaystyle = \frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2} - \frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2}$ $\displaystyle = \frac{n ( 3 n - 1 )}{2}$$( n \geq 2 )$ 이다. $\displaystyle a _{n} = \frac{3 n - 1}{2} ( n \geq 2 )$ 그런데 $\displaystyle a _{1} = \sum\limits _{k = 1} ^{1} ka _{k} = \frac{1 ^{2} ( 1 + 1 )}{2} = 1$이다. 따라서 $\displaystyle a _{n} = \frac{3 n - 1}{2}$$( n \geq 1 )$이다. $\therefore a _{15} = 22$ [다른 풀이] $\displaystyle 15 a _{15} = \sum\limits _{k = 1} ^{15} ka _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{14} ka _{k}$ $\displaystyle 15 a _{15} = \frac{15 ^{2} \times 16 - 14 ^{2} \times 15}{2}$ $\displaystyle = \frac{15 ( 15 \times 16 - 14 \times 14 )}{2}$ $= 15 \times 22$ $\therefore a _{15} = 22$