대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=1a _{1} = 1, pan+1=qan+1p a _{n + 1} = q a _{n} + 1 (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, pp, qq는 00이 아닌 실수이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. p=qp = q일 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등차수열이다. ㄴ. p≠qp \ne q일 때, 수열 {an−1p−q}\displaystyle \left\{ a _{n} - \frac{1}{p - q} \right\}은 등비수열이다. ㄷ. −1<qp<1\displaystyle - 1 < \frac{q}{p} < 1일 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. p=qp = q일 때 주어진 식의 양변을 pp로 나누면 an+1=an+1p\displaystyle a _{n+1} = a _{n} + \frac{1}{p}이다. 따라서 수열 {an}\{ a _{n} \}은 공차가 1p\displaystyle \frac{1}{p}인 등차수열이다. (참) ㄴ. an+1=qpan+1p\displaystyle a _{n + 1} = \frac{q}{p} a _{n} + \frac{1}{p}이므로 an+1−α=qp(an−α)\displaystyle a _{n + 1} - \alpha = \frac{q}{p} ( a _{n} - \alpha ) (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, α=1p−q\displaystyle \left. \alpha = \frac{1}{p - q} \right.)\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right) 따라서 수열 {an−1p−q}\displaystyle \left\{ a _{n} - \frac{1}{p - q} \right\}은 첫째항이 a1−1p−q\displaystyle a _{1} - \frac{1}{p - q}이고, 공비가 qp\displaystyle \frac{q}{p}인 등비수열이다. (참) ㄷ. ㄴ에서 an=(qp)n−1(a1−α)+α\displaystyle a _{n} = \left( \frac{q}{p} \right) ^{n-1} ( a _{1} - \alpha ) + \alpha이므로 −1<qp<1\displaystyle - 1 < \frac{q}{p} < 1이면 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \alpha이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

태그

#점화식#등비수열#보기

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