기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

선분과 xy평면 교점

문제

좌표공간의 두 점 A(−1,1,−2){\mathrm{A}} ( - 1 , 1 , - 2 ), B(2,4,1){\mathrm{B}} ( 2 , 4 , 1 )에 대하여 선분 AB{\mathrm{AB}}가 xyxy 평면과 만나는 점을 P{\mathrm{P}} 라 할 때, 선분 AP{\mathrm{AP}}의 길이는? [3점] ①23\displaystyle 2 \sqrt{3}②13\displaystyle \sqrt{13}③14\displaystyle \sqrt{14}④15\displaystyle \sqrt{15}⑤44

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①

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해설

[출제의도] 좌표공간에서 선분의 내분점을 이해하여 선분의 길이를 구한다. 점 P{\mathrm{P}}는 선분 AB{\mathrm{AB}}를 m:nm : n으로 내분하는 점이므로 점 P{\mathrm{P}}의 좌표는 (2m−nm+n,4m+nm+n,m−2nm+n)\displaystyle \left( \frac{2 m - n}{m + n} , \frac{4 m + n}{m + n} , \frac{m - 2 n}{m + n} \right)이다. xyxy평면 위의 점 P{\mathrm{P}}의 zz좌표는 00이므로 m−2n=0m - 2 n = 0, m=2nm = 2 n 그러므로 점 P{\mathrm{P}}의 좌표는 (1,3,0)( 1 , 3 , 0 )이다. 따라서 선분 AP{\mathrm{AP}}의 길이는 {1−(−1)}2+(3−1)2+{0−(−2)}2=23\displaystyle \sqrt{\left\{ 1 - ( - 1 ) \right\} ^{2} + ( 3 - 1 ) ^{2} + \left\{ 0 - ( - 2 ) \right\} ^{2}} = 2 \sqrt{3}

태그

#공간좌표#내분점

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