미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분과 곡선 사이 넓이

문제

[13~14] 자연수 nn에 대하여 좌표가 (0,2n+1)( 0 , 2 n + 1 )인 점을 P\mathrm{P}라 하고, 함수 f(x)=nx2f ( x ) = nx ^{2}의 그래프 위의 점 중 yy좌표가 11이고 제11사분면에 있는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 1313번과 1414번의 두 물음에 답하시오.

n=1n = 1일 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}와 곡선 y=f(x)y = f ( x ) 및 yy축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②1912\displaystyle \frac{19}{12}③53\displaystyle \frac{5}{3}④74\displaystyle \frac{7}{4}⑤116\displaystyle \frac{11}{6}

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③

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있는가? n=1n = 1일 때, f(x)=x2f \left( x \right) = x ^{2}이고 P(0,3),Q(1,1){\mathrm{P}} \left( 0 , 3 \right) , {\mathrm{Q}} \left( 1 , 1 \right)이므로 구하고자 하는 넓이 SS는 SS=12×2×1+∫01(1−x2)dx\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 + \int _{0} ^{1} {} \left( 1 - x ^{2} \right) dx =1+[x−13x3]01\displaystyle = 1 + \left[ x - \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{1} =1+(1−13)=53\displaystyle = 1 + \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{5}{3}

태그

#정적분#넓이

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