선분을 거치는 최단 경로

실마리: $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2$로 일정하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{QB}}$만 최소로 하면 되고, 점 $\mathrm{Q}$를 점 $\mathrm{P}$ 자리로 옮겨 오면 한 점에서 꺾이는 경로가 된다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2$이다. 점 $\mathrm{B} ( 9 , 5 )$를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼 평행이동한 점을 $\mathrm{B}' ( 7 , 5 )$라 하면 점 $\mathrm{Q} ( t + 2 , 0 )$도 같은 평행이동으로 점 $\mathrm{P} ( t , 0 )$으로 옮겨지므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{PB}'}$ 점 $\mathrm{B}'$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}'' ( 7 , - 5 )$라 하면 점 $\mathrm{P}$가 $x$축 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}'} = \overline{\mathrm{PB}''}$

$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}''} \geq \overline{\mathrm{AB}''} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( - 5 - 3 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10$ 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{AB}''$ 위에 있을 때 성립한다. 따라서 구하는 최솟값은 $10 + 2 = 12$

(검산: 선분 $\mathrm{AB}''$과 $x$축의 교점은 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{13}{4} , 0 \right)$이고 이때 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{21}{4} , 0 \right)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{\frac{81}{16} + 9} = \frac{15}{4}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \sqrt{\frac{225}{16} + 25} = \frac{25}{4}$이므로 합은 $10$이다.)