선분 위 점 내적 최소

$\mathrm{A} ( 4 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 6 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 6 )$에 대하여 점 $\mathrm{D} , E$의 좌표는 각각 $\mathrm{D} ( 2 , 3 , 0 ) , E ( 0 , 2 , 4 )$이다. 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{DE}$위를 움직이므로 $\mathrm{\vec{OP}} = \vec{OD} + \mathit{t} \mathrm{\vec{DE}} = ( 2 , 3 , 0 ) + \mathit{t} ( - 2 , - 1 , 4 )$ $= ( - 2 t + 2 , - t + 3 , 4 t )$ (단, $0 \leq t \leq 1$) $\mathrm{\vec{AP}} = \vec{OP} - \vec{OA} = ( - 2 \mathit{t} - 2 , - t + 3 , 4 t )$이므로 $\mathrm{\vec{OP}} \cdot \vec{AP} = ( - 2 \mathit{t} + 2 , - t + 3 , 4 t ) \cdot ( - 2 t - 2 , - t + 3 , 4 t )$ $= ( 4 t ^{2} - 4 ) + ( t ^{2} - 6 t + 9 ) + 16 t ^{2} = 21 t ^{2} - 6 t + 5$ $\displaystyle = 21 \left( t - \frac{1}{7} \right) ^{2} + \frac{32}{7}$ 따라서 $\mathrm{\vec{OP}} \cdot \vec{AP}$의 최소값은 $\displaystyle t = \frac{1}{7}$일 때 $\displaystyle \frac{32}{7}$이다.