대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

선분 포물선 만남 개수

문제

자연수 nn에 대하여 좌표평면 위에 두 점 Pn(n,2n){\mathrm{P}} _{n} ( n , 2 n ), Qn(2n,2n)\mathrm{Q} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} ( \mathit{2} n , 2 n )이 있다. 선분 PnQn\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{Q} \mathit{\mathrm{_{n}}}과 곡선 y=1kx2\displaystyle y = \frac{1}{k} x ^{2}이 만나도록 하는 자연수 kk의 개수를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=115an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{15} a _{n}의 값을 구하시오. [4점]

Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} y=1kx2\displaystyle y = \frac{1}{k} x ^{2} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}

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해설

선분과 곡선의 위치관계로부터 1kn2≤2n≤1k4n2\displaystyle \frac{1}{k} n ^{2} \leq 2 n \leq \frac{1}{k} 4 n ^{2}, n2≤k≤2n\displaystyle \frac{n}{2} \leq k \leq 2 n i) n=2m−1n = 2 m - 1 (홀수)이면 m≤k≤4m−2m \leq k \leq 4 m - 2, an=a2m−1=3m−1a _{n} = a _{2m-1} = 3 m - 1 ii) n=2mn = 2 m (짝수)이면 m≤k≤4mm \leq k \leq 4 m, an=a2m=3m+1a _{n} = a _{2m} = 3 m + 1 그러므로 ∑n=115an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{15} a _{n}=∑m=18(3m−1)+∑m=17(3m+1)\displaystyle = \sum\limits _{m=1} ^{8} ( 3 m - 1 ) + \sum\limits _{m=1} ^{7} ( 3 m + 1 )=100+91= 100 + 91=191= 191

태그

#시그마#이차함수#경우 나누기

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