선분 길이 합 함수 보기

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-다항함수의 미분법 $0 < a \leq 3$일 때 $\displaystyle {\overline{PQ}} = f ( a ) = - a ^{3} + 3 a ^{2}$이고, $a > 3$일 때 $\displaystyle {\overline{PQ}} = - f ( a ) = a ^{3} - 3 a ^{2}$이므로 $\displaystyle S ( a ) = {\begin{cases} - a ^{3} + 3 a ^{2} + a & ( 0 < a \leq 3 ) \\ a ^{3} - 3 a ^{2} + a & ( a > 3 ) \end{cases}}$ $\displaystyle S' ( a ) = {\begin{cases} - 3 a ^{2} + 6 a + 1 & ( 0 < a < 3 ) \\ 3 a ^{2} - 6 a + 1 & ( a > 3 ) \end{cases}}$ ㄱ. (참) $0 < a < 3$일 때 $S' ( a ) = 1$에서 $a = 2$이고, $a > 3$일 때 $S' ( a ) = 1$을 만족시키는 $a$는 존재하지 않는다. 따라서 $S' ( a ) = 1$을 만족시키는 $a$의 개수는 1이다. ㄴ. (참) (ⅰ) $0 < a < 3$일 때, $S' ( a ) = - 3 a ^{2} + 6 a + 1 = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} ( \because 0 < a < 3 )$ 이때 $\displaystyle a = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$의 좌우에서 $S' ( a )$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 $S ( a )$는 $\displaystyle a = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$에서 극대이다. (ⅱ) $a = 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 3 -} {} S ( a ) = \lim\limits _{a \rightarrow 3 +} {} S ( a ) = S ( 3 ) = 3$이므로 함수 $S ( a )$는 $a = 3$에서 연속이다. 한편, $\displaystyle S' ( a ) = {\begin{cases} - 3 a ^{2} + 6 a + 1 & ( 0 < a < 3 ) \\ 3 a ^{2} - 6 a + 1 & ( a > 3 ) \end{cases}}$ 이므로 $a = 3$의 좌우에서 $S' ( a )$의 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 함수 $S ( a )$는 $a = 3$에서 극소이다. (ⅲ) $a > 3$일 때, $S' ( a ) = 3 a ^{2} - 6 a + 1 = 3 ( a - 1 ) ^{2} - 2 > 0$ 이므로 극값을 갖지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 함수 $S ( a )$가 극값을 갖는 $a$의 개수는 2이다. ㄷ. (거짓) $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 3 +} {} \frac{S ( a ) - S ( 3 )}{a - 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow 3 +} {} \frac{( a ^{3} - 3 a ^{2} + a ) - 3}{a - 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow 3 +} {} ( a ^{2} + 1 ) = 3 ^{2} + 1 = 10$ $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 3 -} {} \frac{S ( a ) - S ( 3 )}{a - 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow 3 -} {} \frac{( - a ^{3} + 3 a ^{2} + a ) - 3}{a - 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow 3 -} {} ( - a ^{2} + 1 ) = - 3 ^{2} + 1 = - 8$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 3} {} \frac{S ( a ) - S ( 3 )}{a - 3}$의 값은 존재하지 않는다. 따라서 함수 $S ( a )$는 $a = 3$에서 미분가능하지 않다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른 풀이] ㄷ. $\displaystyle S' ( a ) = {\begin{cases} - 3 a ^{2} + 6 a + 1 & ( 0 < a < 3 ) \\ 3 a ^{2} - 6 a + 1 & ( a > 3 ) \end{cases}}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 3 -} {} S' ( a ) = - 8 , \lim\limits _{a \rightarrow 3 +} {} S' ( a ) = 10$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 3 -} {} S' ( a ) \ne \lim\limits _{a \rightarrow 3 +} {} S' ( a )$이므로 함수 $S ( a )$는 $a = 3$에서 미분가능하지 않다.