대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

셀리논의 넓이

문제

[그림1]은 아르키메데스의 <보조정리집>에 있는 셀리논(Salinon)이라는 도형이다.

[그림1] 아르키메데스는 셀리논을 다음과 같은 방법으로 그렸다.

[그림2] (ⅰ) 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 ACB\mathrm{ACB}를 그린다. (ⅱ) 지름 AB\mathrm{AB} 위에 A\mathrm{A}와 B\mathrm{B}로부터 각각 같은 거리만큼 떨어진 점 D,E\mathrm{D} , E를 잡는다. (ⅲ) 선분 AD\mathrm{AD}와 선분 EB\mathrm{EB}를 지름으로 하는 두 개의 반원을 반원 ACB\mathrm{ACB}와 같은 쪽으로 그린다. (ⅳ) 선분 DE\mathrm{DE}를 지름으로 하는 반원을 반원 ACB\mathrm{ACB}와 반대쪽에 그린다.

[그림2] (ⅰ) 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 ACB\mathrm{ACB}를 그린다. (ⅱ) 지름 AB\mathrm{AB} 위에 A\mathrm{A}와 B\mathrm{B}로부터 각각 같은 거리만큼 떨어진 점 D,E\mathrm{D} , E를 잡는다. (ⅲ) 선분 AD\mathrm{AD}와 선분 EB\mathrm{EB}를 지름으로 하는 두 개의 반원을 반원 ACB\mathrm{ACB}와 같은 쪽으로 그린다. (ⅳ) 선분 DE\mathrm{DE}를 지름으로 하는 반원을 반원 ACB\mathrm{ACB}와 반대쪽에 그린다.

[그림2]에서 AB‾=10\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 10이고, DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}, AD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}, CF‾\displaystyle \overline{\mathrm{CF}}가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 이 셀리논의 넓이는? (단, AO‾=BO‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} = \overline{BO}, CF‾\displaystyle \mathrm{\overline{CF}}는 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 수직이등분선) [4점] ①7π7 \pi②152π\displaystyle \frac{15}{2} \pi③8π8 \pi④172π\displaystyle \frac{17}{2} \pi⑤9π9 \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

AB‾=10\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 10 이므로 4r1+2r2=104 r _{1} + 2 r _{2} = 10 DE‾=2r2\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = 2 r _{2}, AD‾=2r1\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = 2 r _{1}, CF‾=2r1+2r2\displaystyle \overline{\mathrm{CF}} = 2 r _{1} + 2 r _{2} 가 차례로 등차수열을 이루므로 4r1=2r1+4r24 r _{1} = 2 r _{1} + 4 r _{2} ∴r1=2,r2=1\therefore r _{1} = 2 , r _{2} = 1 셀리논(Salinon)의 넓이 SS는 S=12×52π−2×12×4π+12π=9π\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 5 ^{2} \pi - 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \pi + \frac{1}{2} \pi = 9 \pi 【참고】 셀리논의 넓이는 CF‾\displaystyle \mathrm{\overline{CF}}를 지름으로 하는 원의 넓이와 같다.

태그

#등차수열#반원#넓이

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