대수수학적 귀납법AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세제곱의 합 유도 과정의 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nk3\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3}을 구하는 과정이다.

항등식 (k+1)4−k4=4k3+6k2+4k+1( k + 1 ) ^{4} - k ^{4} = 4 k ^{3} + 6 k ^{2} + 4 k + 1의 양변에 k=1,2,3,⋯ ,nk = 1 , 2 , 3 , \cdots , n을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 (n+1)4−1=4∑k=1nk3+6∑k=1nk2+4∑k=1nk+n\displaystyle ( n + 1 ) ^{4} - 1 = 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} + 6 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{2} + 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k + n =4∑k=1nk3+\displaystyle = 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} + (가) +2n(n+1)+n+ 2 n ( n + 1 ) + n 이므로 4∑k=1nk3=(n+1)4−1−\displaystyle 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} = ( n + 1 ) ^{4} - 1 - (가) −2n(n+1)−n=- 2 n ( n + 1 ) - n = (나) 따라서 ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} = \left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(3)+g(3)f ( 3 ) + g ( 3 )의 값은? [4점] ①216216②220220③224224④228228⑤232232

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④

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해설

6∑k=1nk2=6×n(n+1)(2n+1)6=n(n+1)(2n+1)\displaystyle 6 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{2} = 6 \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )이므로 f(n)=n(n+1)(2n+1)f ( n ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 4∑k=1nk=4×n(n+1)2=2n(n+1)\displaystyle 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k = 4 \times \frac{n ( n + 1 )}{2} = 2 n ( n + 1 )이므로 4∑k=1nk3=(n+1)4−1−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n\displaystyle 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} = ( n + 1 ) ^{4} - 1 - n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - 2 n ( n + 1 ) - n =(n+1)4−(n+1)−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)= ( n + 1 ) ^{4} - ( n + 1 ) - n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - 2 n ( n + 1 ) =(n+1){(n+1)3−1−n(2n+1)−2n}= ( n + 1 ) \left\{ ( n + 1 ) ^{3} - 1 - n ( 2 n + 1 ) - 2 n \right\} =(n+1)(n3+3n2+3n−2n2−3n)=(n+1)(n3+n2)= ( n + 1 ) ( n ^{3} + 3 n ^{2} + 3 n - 2 n ^{2} - 3 n ) = ( n + 1 ) ( n ^{3} + n ^{2} ) =n2(n+1)2= n ^{2} ( n + 1 ) ^{2} 이므로 g(n)=n2(n+1)2g ( n ) = n ^{2} ( n + 1 ) ^{2} f(3)=3⋅4⋅7=84f ( 3 ) = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84, g(3)=9×16=144g ( 3 ) = 9 \times 16 = 144 따라서 f(3)+g(3)=228f ( 3 ) + g ( 3 ) = 228이므로 답은 ④

태그

#빈칸 추론#자연수의 거듭제곱의 합#항등식

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