세제곱근 합성 극값

함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = 0$에서 미분가능하다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x - 0}}$이 수렴하고 $g \left( 0 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{g \left( x \right)}{x}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{\sqrt[3]{x \left( f \left( x \right) \right) ^{2}}}{x}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left( \frac{f \left( x \right)}{x} \right) ^{\frac{2}{3}}}$ 이 극한이 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right)}{x}}$가 존재하고 (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f \left( x \right)} = f \left( 0 \right) = 0$ $f \left( x \right) = xh \left( x \right)$라 하고 이차방정식 $h \left( x \right) = 0$의 판별식을 $D$라 하자. (ⅰ) $D > 0$일 때 서로 다른 두 실수 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha \ne 0$)에 대하여 $h \left( \alpha \right) = h \left( \beta \right) = 0$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {\frac{g \left( x \right) - g \left( \alpha \right)}{x - \alpha}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {\frac{\sqrt[3]{x \left\{ x \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) \right\} ^{2}}}{x - \alpha}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {\frac{x \sqrt[3]{\left( x - \beta \right) ^{2}}}{\sqrt[3]{x - \alpha}}}$ 이고 $\alpha \ne 0$, $\alpha \ne \beta$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {\frac{g \left( x \right) - g \left( \alpha \right)}{x - \alpha}}$가 수렴하지 않는다. 따라서 함수 $g \left( x \right)$가 $x = \alpha$에서 미분가능하지 않고 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $D = 0$일 때 실수 $\alpha$에 대하여 $h \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) ^{2}$라 하면 $\displaystyle g \left( x \right) = \sqrt[3]{x ^{3} \left( x - \alpha \right) ^{4}} = x \left( x - \alpha \right) ^{\frac{4}{3}}$ $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \left( x - \alpha \right) ^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x \left( x - \alpha \right) ^{\frac{1}{3}}$ $\displaystyle = \left( x - \alpha \right) ^{\frac{1}{3}} \left( \frac{7}{3} x - \alpha \right)$ 함수 $g \left( x \right)$가 $\displaystyle x = \frac{19}{7}$에서 극값을 가지므로 $\displaystyle g' \left( \frac{19}{7} \right) = 0$, $\displaystyle \alpha = \frac{19}{7}$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{19}{3}$ $\displaystyle \alpha = \frac{19}{7}$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{19}{3}$일 때 $g' \left( 3 \right) \ne 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 3$에서 극값을 갖지 않는다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $D < 0$일 때 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $h \left( x \right) = x ^{2} + ax + b$라 하면 모든 실수 $x$에 대하여 $h \left( x \right) > 0$이고 $\displaystyle g \left( x \right) = x \left( h \left( x \right) \right) ^{\frac{2}{3}}$ $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \left( h \left( x \right) \right) ^{\frac{2}{3}} + x \times \frac{2}{3} h' \left( x \right) \left( h \left( x \right) \right) ^{- \frac{1}{3}}$ $\displaystyle = \left( h \left( x \right) \right) ^{- \frac{1}{3}} \left\{ h \left( x \right) + \frac{2}{3} xh' \left( x \right) \right\}$ 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \left( h \left( x \right) \right) ^{- \frac{1}{3}} > 0$이므로 $g' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle h \left( x \right) + \frac{2}{3} xh' \left( x \right) = 0$ 즉, 이차방정식 $\displaystyle \left( x ^{2} + ax + b \right) + \frac{2}{3} x \left( 2 x + a \right) = \frac{7}{3} x ^{2} + \frac{5}{3} ax + b = 0$ 의 두 실근이 $\displaystyle x = \frac{19}{7}$ 또는 $x = 3$이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{19}{7} + 3 = - \frac{\frac{5}{3} a}{\frac{7}{3}} = - \frac{5}{7} a$, $a = - 8$ $\displaystyle \frac{19}{7} \times 3 = \frac{b}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7} b$, $b = 19$ 따라서 $h \left( x \right) = x ^{2} - 8 x + 19$이고 $f \left( x \right) = x ^{3} - 8 x ^{2} + 19 x$ 이상에서 $f \left( x \right) = x ^{3} - 8 x ^{2} + 19 x$이므로 $f \left( 5 \right) = 20$