세제곱 합 조건 다항식

[출제의도] 곱셈공식을 이용하여 문제 해결하기 $\left\{ P \left( x \right) \right\} ^{3} + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{3} = 12 x ^{4} + 24 x ^{3} + 12 x ^{2} + 16$에서 $\left\{ P \left( x \right) + Q \left( x \right) \right\} ^{3} - 3 P \left( x \right) Q \left( x \right) \left\{ P \left( x \right) + Q \left( x \right) \right\}$$= 12 x ^{4} + 24 x ^{3} + 12 x ^{2} + 16$ $P \left( x \right) + Q \left( x \right) = 4$이므로 $64 - 12 P \left( x \right) Q \left( x \right) = 12 x ^{4} + 24 x ^{3} + 12 x ^{2} + 16$ $- 12 P \left( x \right) Q \left( x \right) = 12 x ^{4} + 24 x ^{3} + 12 x ^{2} - 48$ $- P \left( x \right) Q \left( x \right) = x ^{4} + 2 x ^{3} + x ^{2} - 4$ $= \left( x - 1 \right) \left( x + 2 \right) \left( x ^{2} + x + 2 \right)$ $= \left( x ^{2} + x - 2 \right) \left( x ^{2} + x + 2 \right)$ $P \left( x \right) + Q \left( x \right) = 4$이고 $P ( x )$의 최고차항의 계수가 음수이므로 조건(가), (나)를 만족시키는 두 이차다항식 $P \left( x \right)$, $Q \left( x \right)$는 $P \left( x \right) = - x ^{2} - x + 2$, $Q \left( x \right) = x ^{2} + x + 2$ 이다. 따라서 $P \left( 2 \right) + Q \left( 3 \right) = 10$이다. [다른 풀이] $P \left( x \right) = ax ^{2} + bx + c$$\left( a < 0 \right)$ $Q \left( x \right) = 4 - \left( ax ^{2} + bx + c \right)$ 라 하자. $\left\{ P \left( x \right) \right\} ^{3} + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{3}$ $= \left( ax ^{2} + bx + c \right) ^{3} + 64 - 48 \left( ax ^{2} + bx + c \right)$ $+ 12 \left( ax ^{2} + bx + c \right) ^{2} - \left( ax ^{2} + bx + c \right) ^{3}$ $= 12 a ^{2} x ^{4} + 24 abx ^{3} + \left( 12 b ^{2} + 24 ac - 48 a \right) x ^{2} +$ $\left( 24 bc - 48 b \right) x + \left( 12 c ^{2} - 48 c + 64 \right)$ $= 12 x ^{4} + 24 x ^{3} + 12 x ^{2} + 16$ 에서 $12 a ^{2} = 12$이므로 $a = - 1 \left( \because a < 0 \right)$이다. $24 ab = 24$에서 $b = - 1$이다. $12 b ^{2} + 24 ac - 48 a = 12$에서 $c = 2$이다. $b = - 1$, $c = 2$를 $24 bc - 48 b = 0$, $12 c ^{2} - 48 c + 64 = 16$에 대입하면 등식이 성립하므로 $P \left( x \right) = - x ^{2} - x + 2$ $Q \left( x \right) = 4 - \left( - x ^{2} - x + 2 \right)$$= x ^{2} + x + 2$ 이다. 따라서 $P \left( 2 \right) + Q \left( 3 \right) = - 4 + 14 = 10$이다.