공통수학1연립일차부등식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세 삼각형의 넓이 비교 조건

문제

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{8}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{12}$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 변 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABP}$ 의 넓이는 삼각형 $\mathrm{PCD}$ 의 넓이보다 크고, 삼각형 $\mathrm{APD}$ 의 넓이의 $\displaystyle \frac{3}{4}$ 이하이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}$ 의 값이 될 수 있는 모든 자연수의 합을 구하시오. [4점]

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해설

$\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = \mathit{x}$ 라 하면 $0 < x < 12$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = \mathit{12} - x$ 삼각형 $\mathrm{ABP}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times x \times 8 = 4 x$ 삼각형 $\mathrm{PCD}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 12 - x ) \times 8 = 48 - 4 x$ 삼각형 $\mathrm{APD}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ $4 x > 48 - 4 x$ 에서 $x > 6$ $\displaystyle 4 x \leq \frac{3}{4} \times 48 = 36$ 에서 $x \leq 9$ 즉 $6 < x \leq 9$ 따라서 자연수 $x$ 는 $7$ , $8$ , $9$ 이고 그 합은 $24$ 이다.

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