공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

세 삼각형 넓이 같게

문제

직사각형 ABCD\mathrm{A} BCD의 변 AB,\mathrm{AB} , BC\mathrm{B} C위에 각각 점 P,Q\mathrm{P} , Q를 잡아 △APD,\mathrm{\triangle} APD , △PBQ,\mathrm{\triangle} PBQ , △QCD\mathrm{\triangle} QCD의 넓이가 같게 하였다. QC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{QC}} = 2일 때, 선분 BQ\mathrm{BQ}의 길이는? [3점]

①33②2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}③1+3\displaystyle 1 + \sqrt{3}④2+3\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{3}⑤1+5\displaystyle 1 + \sqrt{5}

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⑤

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해설

△APD=12⋅AP‾⋅AD‾=12⋅AP‾⋅(BQ‾+2)\displaystyle \mathrm{\triangle} APD = \frac{1}{2} \cdot \overline{AP} \cdot \overline{AD} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AP} \cdot ( \overline{BQ} + 2 ) △PBQ=12⋅PB‾⋅BQ‾\displaystyle \mathrm{\triangle} PBQ = \frac{1}{2} \cdot \overline{PB} \cdot \overline{BQ} △QCD=12⋅2⋅CD‾=12⋅2⋅(AP‾+PB‾)\displaystyle \mathrm{\triangle} QCD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \overline{CD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ( \overline{AP} + \overline{PB} ) 이므로 △APD=△QCD\mathrm{\triangle} APD = \triangle QCD에서 12⋅AP‾⋅(BQ‾+2)=12⋅2⋅(AP‾+PB‾)\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \cdot \overline{AP} \cdot ( \overline{BQ} + 2 ) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ( \overline{AP} + \overline{PB} ) AP‾⋅BQ‾+2⋅AP‾=2⋅AP‾+2⋅PB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \cdot \overline{BQ} + 2 \cdot \overline{AP} = 2 \cdot \overline{AP} + 2 \cdot \overline{PB} AP‾⋅BQ‾=2⋅PB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \cdot \overline{BQ} = 2 \cdot \overline{PB} PB‾=AP‾⋅BQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = \frac{\overline{AP} \cdot \overline{BQ}}{2} ……………… ㉠ 또, △APD=△PBQ\mathrm{\triangle} APD = \triangle PBQ에서 12⋅AP‾⋅(BQ‾+2)=12⋅PB‾⋅BQ‾\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \cdot \overline{AP} \cdot ( \overline{BQ} + 2 ) = \frac{1}{2} \cdot \overline{PB} \cdot \overline{BQ} AP‾⋅BQ‾+2⋅AP‾=PB‾⋅BQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \cdot \overline{BQ} + 2 \cdot \overline{AP} = \overline{PB} \cdot \overline{BQ} AP‾⋅BQ‾+2⋅AP‾=AP‾⋅BQ‾2⋅BQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \cdot \overline{BQ} + 2 \cdot \overline{AP} = \frac{\overline{AP} \cdot \overline{BQ}}{2} \cdot \overline{BQ} (∵ ㉠) BQ‾+2=BQ‾22\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} + 2 = \frac{{\overline{BQ}} ^{2}}{2} BQ‾2−2⋅BQ‾−4=0\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} ^{2} - 2 \cdot \overline{BQ} - 4 = 0 BQ‾=1±5\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = 1 \pm \sqrt{5} ∴BQ‾=1+5\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = 1 + \sqrt{5} (∵BQ‾>0\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} > 0)

태그

#이차방정식#도형

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