세 무게중심이 만드는 삼각형의 넓이

실마리: 점 $\mathrm{P}$에서 각 변의 중점으로 그은 선분 위에 무게중심이 있고, 그 선분을 $2 : 1$로 내분한다. 두 변 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$의 중점을 각각 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 무게중심 $\mathrm{G} _{1}$은 선분 $\mathrm{PM}$ 위에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG} _{1}} : \overline{\mathrm{G} _{1} \mathrm{M}} = 2 : 1$ 삼각형 $\mathrm{PCA}$의 무게중심 $\mathrm{G} _{2}$는 선분 $\mathrm{PN}$ 위에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG} _{2}} : \overline{\mathrm{G} _{2} \mathrm{N}} = 2 : 1$ 삼각형 $\mathrm{PMN}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG} _{1}} : \overline{\mathrm{PM}} = \overline{\mathrm{PG} _{2}} : \overline{\mathrm{PN}} = 2 : 3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2}} = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{MN}}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2}} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{AB}}$ 같은 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{2} \mathrm{G} _{3}} = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{BC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{3} \mathrm{G} _{1}} = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{CA}}$ 즉, 삼각형 $\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2} \mathrm{G} _{3}$은 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 닮음비가 $1 : 3$인 닮은 도형이므로 넓이의 비는 $1 : 9$이다. (검산: $\mathrm{P} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{A} ( x _{1} , y _{1} )$, $\mathrm{B} ( x _{2} , y _{2} )$, $\mathrm{C} ( x _{3} , y _{3} )$으로 두면 $\displaystyle \mathrm{G} _{1} \left( \frac{x _{2} + x _{3}}{3} , \frac{y _{2} + y _{3}}{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{G} _{2} \left( \frac{x _{3} + x _{1}}{3} , \frac{y _{3} + y _{1}}{3} \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{( x _{1} - x _{2} ) ^{2} + ( y _{1} - y _{2} ) ^{2}} = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{AB}}$) 따라서 삼각형 $\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2} \mathrm{G} _{3}$의 넓이는 $\displaystyle 54 \times \frac{1}{9} = 6$