세 중선의 길이의 제곱의 합

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 점 $\mathrm{L}$은 변 $\mathrm{BC}$의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BL}} = \mathit{4}$이므로 $\displaystyle 6 ^{2} + 10 ^{2} = 2 ( \overline{\mathrm{AL}} ^{2} + 4 ^{2} )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AL}} ^{2} = 52$ 점 $\mathrm{M}$은 변 $\mathrm{CA}$의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \mathit{5}$이므로 $\displaystyle 6 ^{2} + 8 ^{2} = 2 ( \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + 5 ^{2} )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} ^{2} = 25$ 점 $\mathrm{N}$은 변 $\mathrm{AB}$의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AN}} = \mathit{3}$이므로 $\displaystyle 10 ^{2} + 8 ^{2} = 2 ( \overline{\mathrm{CN}} ^{2} + 3 ^{2} )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CN}} ^{2} = 73$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AL}} ^{2} + \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + \overline{\mathrm{CN}} ^{2} = 52 + 25 + 73 = 150$