공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

세 점을 지나는 원의 방정식 구하기

문제

다음은 세 점 $\mathrm{O} \mathit{(} 0 , 0 )$ , $\mathrm{A} \mathit{(} 6 , 0 )$ , $\mathrm{B} \mathit{(} 0 , 8 )$ 을 지나는 원의 방정식을 구하는 과정이다.

구하는 원의 방정식을 $x ^{2} + y ^{2} + ax + by + c = 0$ 이라 하자. 점 $\mathrm{O} \mathit{(} 0 , 0 )$ 을 지나므로 $c =$ (가) 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 6 , 0 )$ 을 지나므로 $36 + 6 a + c = 0$ 에서 $a =$ (나) 점 $\mathrm{B} \mathit{(} 0 , 8 )$ 을 지나므로 $64 + 8 b + c = 0$ 에서 $b =$ (다) 따라서 구하는 원의 방정식은 $x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y = 0$ 이고, 이 원의 중심은 점 $( 3 , 4 )$ , 반지름의 길이는 $5$ 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은? [3점] ① $- 16$ ② $- 15$ ③ $- 14$ ④ $- 13$ ⑤ $- 12$

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③

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해설

$x ^{2} + y ^{2} + ax + by + c = 0$ 에 $x = 0$ , $y = 0$ 을 대입하면 $c = 0$ 이므로 (가)는 $0$ $x = 6$ , $y = 0$ 을 대입하면 $36 + 6 a = 0$ 이므로 $a = - 6$ , 곧 (나)는 $- 6$ $x = 0$ , $y = 8$ 을 대입하면 $64 + 8 b = 0$ 이므로 $b = - 8$ , 곧 (다)는 $- 8$ (검산) $x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y = 0$ 을 고치면 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 25$ 이므로 중심 $( 3 , 4 )$ , 반지름의 길이 $5$ 가 맞다. 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은 $0 + ( - 6 ) + ( - 8 ) = - 14$ ③

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