세 점에서 같은 거리인 점 P

점 ${\mathrm{P}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PO}}} = {\overline{\mathrm{PA}}} = {\overline{\mathrm{PB}}}$를 만족시키므로 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$의 외접원의 중심이고, 선분 $\mathrm{OP}$의 길이는 이 외접원의 반지름의 길이와 같다. 직선 $\displaystyle y = \sqrt{2} x$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \tan \theta = \sqrt{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{B}}$는 $y$축 위의 점이므로 $\angle {\mathrm{AOB}} = 90 ^\circ - \theta$ 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{AOB} \right)} = 2 {\overline{\mathrm{OP}}}$, 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{2 \sin \left( \angle {\mathrm{AOB}} \right)}$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{AOB}} \right)$ $\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{2 \sin \left( \angle \mathrm{AOB} \right)} \times \cos \left( \angle \mathrm{AOB} \right)$ $\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{2} \times \frac{\cos \left( \angle \mathrm{AOB} \right)}{\sin \left( \angle \mathrm{AOB} \right)}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\cos \left( 90 ^\circ - \theta \right)}{\sin \left( 90 ^\circ - \theta \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2}$ ($\because$ ㉠) $\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{2}$