대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세 자연수의 합으로 나타내기

문제

33이상의 자연수 nn을 33개의 자연수의 합으로 나타내는 방법의 가지수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들어 3=1+1+13 = 1 + 1 + 1이므로 a3=1a _{3} = 1, 4=1+1+2=1+2+1=2+1+14 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1이므로 a4=3a _{4} = 3이다. 이 때, a20a _{20}의 값을 구하시오. [4점]

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171

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해설

3=1+1+13 = 1 + 1 + 1 ⇒ a3=1a _{3} = 1 4=1+1+2=1+2+1=2+1+14 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 ⇒ a4=3a _{4} = 3 5=1+1+3=1+3+1=3+1+15 = 1 + 1 + 3 = 1 + 3 + 1 = 3 + 1 + 1 =1+2+2=2+1+2=2+2+1= 1 + 2 + 2 = 2 + 1 + 2 = 2 + 2 + 1 ⇒ a5=6a _{5} = 6 6=1+1+4=1+4+1=4+1+16 = 1 + 1 + 4 = 1 + 4 + 1 = 4 + 1 + 1 =1+2+3=1+3+2=2+1+3= 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2 = 2 + 1 + 3 =2+3+1=3+1+2=3+2+1= 2 + 3 + 1 = 3 + 1 + 2 = 3 + 2 + 1 =2+2+2= 2 + 2 + 2 ⇒ a6=10a _{6} = 10 … 따라서 an+2=1+∑k=1n−1(k+1)=12(n2+n)\displaystyle a _{n + 2} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( k + 1 \right) = \frac{1}{2} \left( n ^{2} + n \right) ∴a20=12(182+18)=171\displaystyle \therefore a _{20} = \frac{1}{2} \left( 18 ^{2} + 18 \right) = 171

태그

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