세 번 합성하면 항등함수가 되는 함수의 개수

,

그림과 같이 i) $f ( a ) = a$ 이거나 ii) $f ( a ) = b$, $f ( b ) = c$, $f ( c ) = a$ 이면 $( f \circ f \circ f ) ( x ) = x$를 만족한다. ㄱ) 6개 모두 i)인 경우 -- 1가지 ㄴ) 3개가 i)이고 3개가 ii)인 경우는 우선 3개를 뽑는 경우의 수는 ${}_{6} {\mathrm{C}} _{3} = 20$ 이고, 대응순서가 $abc$, $acb$인 두 가지 경우가 있으므로 $20 \times 2 = 40$ 가지 ㄷ) 3개씩 두쌍이 ii) 인 경우는 3개씩 분할하는 방법의 수가 $\displaystyle {}_{6} {\mathrm{C}} _{3} \times _{3} {\mathrm{C}} _{3} \times \frac{1}{2 !} = 10$ 이고 그 각각에 대하여 대응순서를 정하는 방법이 두 가지씩 이므로 $10 \times 2 \times 2 = 40$ $\therefore$ $1 + 40 + 40 = 81$