산술기하평균과 로그식의 최솟값

$x > 1$이므로 $\log _{3} x > 0$ $\displaystyle \log _{x} 81 = \frac{4}{\log _{3} x}$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle 4 \log _{3} x + \frac{4}{\log _{3} x} \geq 2 \sqrt{4 \log _{3} x \times \frac{4}{\log _{3} x}} = 8$ 등호는 $\displaystyle 4 \log _{3} x = \frac{4}{\log _{3} x}$, 즉 $\log _{3} x = 1$ ($x = 3$)일 때 성립한다. 따라서 최솟값은 $8$이므로 답은 ④이다.