공통수학1나머지정리와 인수분해AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

상수항을 뺀 짝수차 계수의 합

문제

다항식 (x2+3x+1)3( x ^{2} + 3 x + 1 ) ^{3}을 전개하여 정리하면 a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6a _{0} + a _{1} x + a _{2} x ^{2} + \cdots + a _{6} x ^{6} 일 때, a2+a4+a6a _{2} + a _{4} + a _{6}의 값을 구하시오. [3점]

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61

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해설

f(x)=(x2+3x+1)3f ( x ) = ( x ^{2} + 3 x + 1 ) ^{3}이라 하면 f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=53=125f ( 1 ) = a _{0} + a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} + a _{6} = 5 ^{3} = 125 …① f(−1)=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(−1)3=−1f ( - 1 ) = a _{0} - a _{1} + a _{2} - a _{3} + a _{4} - a _{5} + a _{6} = ( - 1 ) ^{3} = - 1 … ② ①+ ②에서 2(a0+a2+a4+a6)=1242 ( a _{0} + a _{2} + a _{4} + a _{6} ) = 124 a0+a2+a4+a6=62a _{0} + a _{2} + a _{4} + a _{6} = 62 또 a0=f(0)=1a _{0} = f ( 0 ) = 1이므로 따라서 a2+a4+a6=62−1=61a _{2} + a _{4} + a _{6} = 62 - 1 = 61

태그

#항등식#계수의 합#짝수차 계수#상수항

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