공통수학1이차방정식AI기본 문제 (3점 중반)

상수에 관계없는 근의 판별

문제

다음은 실수 $k$ 의 값에 관계없이 $x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} + 2 ( k + 1 ) x + k ^{2} + 2 k - 3 = 0$ 의 근을 판별하는 과정이다.

이 이차방정식의 판별식을 $D$ 라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( k + 1 ) ^{2} - ( k ^{2} + 2 k - 3 ) =$ (가) 이므로 실수 $k$ 의 값에 관계없이 이 이차방정식은 (나) 를 갖는다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] ①(가) $4$ , (나) 서로 다른 두 실근②(가) $4$ , (나) 서로 다른 두 허근③(가) $- 2$ , (나) 서로 다른 두 허근④(가) $- 2$ , (나) 중근⑤(가) $4 k - 2$ , (나) 서로 다른 두 실근

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①

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해설

$\displaystyle \frac{D}{4} = ( k + 1 ) ^{2} - ( k ^{2} + 2 k - 3 )$ $= k ^{2} + 2 k + 1 - k ^{2} - 2 k + 3 = 4$ $k$ 의 값에 관계없이 $\displaystyle \frac{D}{4} = 4 > 0$ 이므로 이 이차방정식은 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 (가)는 $4$ , (나)는 서로 다른 두 실근이다. ①

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