대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

산책로 방법의 수

문제

어느 공원에는 아래 그림과 같이 $\mathrm{A}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{A}$ 지점으로 돌아오는 제 $1$ 산책로, $\mathrm{A}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{B}$ 지점으로 이어지는 제 $2$ 산책로, $\mathrm{B}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{A}$ 지점으로 이어지는 제 $3$ 산책로가 있고, 각 산책로의 거리는 $1$ $\mathrm{km}$ 이다.

이 산책로들을 따라 다음과 같은 규칙으로 산책한 거리가 $n$ $\mathrm{km}$ 일 때, $\mathrm{A}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{A}$ 지점에 도착하는 방법의 수를 $a _{n}$ , $\mathrm{A}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{B}$ 지점에 도착하는 방법의 수를 $b _{n}$ 이라 하자.

(가) 각 산책로에서는 화살표 방향으로만 진행해야 한다. (나) 같은 산책로를 반복할 수 있다. (다) 지나지 않는 산책로가 있을 수 있다.

$a _{7} + b _{7}$ 의 값은? (단, $n$ 은 자연수이다.) [4점] ① $21$ ② $29$ ③ $34$ ④ $42$ ⑤ $55$

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③

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해설

$a _{1} = 1 , b _{1} = 1$ 이고, $a _{n + 1} = a _{n} + b _{n} , b _{n + 1} = a _{n}$ 이므로 $a _{2} = 2$ , $b _{2} = 1$ $a _{3} = 3$ , $b _{3} = 2$ $a _{4} = 5$ , $b _{4} = 3$ $a _{5} = 8$ , $b _{5} = 5$ $a _{6} = 13$ , $b _{6} = 8$ $a _{7} = 21$ , $b _{7} = 13$ ∴ $a _{7} + b _{7} = 34$

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