대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 숫자판

문제

그림은 한 변의 길이가 1010인 정삼각형을 한 변의 길이가 11인 작은 정삼각형으로 나눈 후 총 6666개의 꼭짓점에 숫자를 써 넣을 수 있게 만든 숫자판이다.

위 숫자판에 모든 수들이 일직선 위에서 차례대로 등차수열이 되도록 써 넣었다. A\mathrm{A}가 11, B\mathrm{B}가 44, C\mathrm{C}가 99일 때, 꼭짓점에 쓰인 6666개의 수들의 총합을 구하시오. [4점]

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308

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해설

[출제의도] 규칙성을 이용하여 수학 외적문제해결하기

kk행의 숫자들이 등차수열을 이루므로 kk행의 첫째항은 1+310(k−1)\displaystyle 1 + \frac{3}{10} \left( k - 1 \right) kk행의 kk번째 항은 1+45(k−1)\displaystyle 1 + \frac{4}{5} \left( k - 1 \right) kk행의 숫자들의 합을 SkS _{k}라 하면 Sk=k{1+310(k−1)+1+45(k−1)}2\displaystyle S _{k} = \frac{k \left\{ 1 + \frac{3}{10} \left( k - 1 \right) + 1 + \frac{4}{5} \left( k - 1 \right) \right\}}{2}=12k(1110k+910)\displaystyle = \frac{1}{2} k \left( \frac{11}{10} k + \frac{9}{10} \right) 6666개의 꼭짓점에 쓰인 수들의 총합은 ∑k=111Sk=∑k=11112k(1110k+910)=308\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{11} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{11} \frac{1}{2} k \left( \frac{11}{10} k + \frac{9}{10} \right) = 308

태그

#등차수열#수열의 합

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