대수삼각함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각형 넓이와 각

문제

AB‾=AC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB} = \overline{AC} = 2}인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 ∠BAC=θ\mathrm{\angle BAC = \theta} (0<θ<π)\left( 0 < \theta < \pi \right)라 하자. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이가 11 보다 크도록 하는 모든 θ\theta의 값의 범위가 α<θ<β\alpha < \theta < \beta일 때, 2α+β2 \alpha + \beta의 값은? [3점] ①76π\displaystyle \frac{7}{6} \pi②43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi③32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi④53π\displaystyle \frac{5}{3} \pi⑤116π\displaystyle \frac{11}{6} \pi

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①

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해설

[출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기 삼각형 ABCABC의 넓이는 12×2×sin⁡θ=2sin⁡β\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times \sin \theta = 2 \sin \beta 삼각형 ABCABC의 넓이가 11 보다 크므로 sin⁡θ>12\displaystyle \sin \theta > \frac{1}{2} 곡선 y=sin⁡θy = \sin \theta (0<θ<π)\left( 0 < \theta < \pi \right)와 직선 y=12\displaystyle y = \frac{1}{2}의 개형은 다음과 같다.

0<θ<π0 < \theta < \pi에서 sin⁡θ>12\displaystyle \sin \theta > \frac{1}{2}의 해는 π6<θ<56π\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5}{6} \pi α=π6\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6}, β=56π\displaystyle \beta = \frac{5}{6} \pi 따라서 2α+β2 \alpha + \beta=2×π6+56π\displaystyle = 2 \times \frac{\pi}{6} + \frac{5}{6} \pi=76π\displaystyle = \frac{7}{6} \pi

태그

#삼각형의 넓이#삼각부등식

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