삼각함수식이 정수가 되는 x의 개수

$f \left( x \right)$$= 2 \cos ^{2} x - \left| 1 + 2 \sin x \right| - 2 \left| \sin x \right| + 2$ $= - 2 \sin ^{2} x - \left| 1 + 2 \sin x \right| - 2 \left| \sin x \right| + 4$ $\sin x = t$ $\left( - 1 \leq t \leq 1 \right)$, $g \left( t \right) = f \left( x \right)$라 하면 $g \left( t \right)$$= - 2 t ^{2} - \left| 1 + 2 t \right| - 2 \left| t \right| + 4$ $\displaystyle = \begin{cases} - 2 t ^{2} + 4 t + 5 & & \left( - 1 \leq t < - \frac{1}{2} \right) \\ - 2 t ^{2} + 3 & & \left( - \frac{1}{2} \leq t < 0 \right) \\ - 2 t ^{2} - 4 t + 3 & & \left( 0 \leq t \leq 1 \right) \end{cases}$ 함수 $y = g \left( t \right)$의 그래프를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

즉 $g \left( t \right)$의 값이 $0$이하의 정수가 되도록 하는 $t$의 값은 $g \left( t \right) = 0$일 때 $t = a$, $t = b$ $\displaystyle \left( - 1 < a < - \frac{1}{2} , 0 < b < 1 \right)$ $g \left( t \right) = - 1$일 때 $t = - 1$, $t = c$ $\left( b < c < 1 \right)$ $g \left( t \right) = - 2$일 때 $t = d$ $\left( c < d < 1 \right)$ $g \left( t \right) = - 3$일 때 $t = 1$ $0 \leq x < 2 \pi$에서 함수 $y = \cos x$의 그래프와 직선 $y = t$를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

따라서 조건을 만족시키는 집합 $A$의 원소의 개수는 $10$이다.