미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각함수 연속과 최대최소

문제

0≤x≤π0 \leq x \leq \pi에서 정의된 함수 f(x)={2cos⁡xtan⁡x+a(x≠π2)3a(x=π2)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 2 \cos x \tan x + a _{} ^{} & \left( x \ne \frac{\pi}{2} \right) \\ 3 a & \left( x = \frac{\pi}{2} \right) ^{{}^{}} \end{cases}} 가 x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}에서 연속일 때, 함수 f(x)f ( x )의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값의 합을 구한다. lim⁡x→π2f(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} f ( x )=lim⁡x→π2(2cos⁡xtan⁡x+a)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} ( 2 \cos x \tan x + a )=lim⁡x→π2(2sin⁡x+a)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} ( 2 \sin x + a )=2+a= 2 + a 함수 f(x)f ( x )가 x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}에서 연속이므로 f(π2)=lim⁡x→π2f(x)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {f ( x )} 3a=2+a3 a = 2 + a, a=1a = 1 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi에서 함수 f(x)=2sin⁡x+1f ( x ) = 2 \sin x + 1이고 0≤sin⁡x≤10 \leq \sin x \leq 1이므로 함수 f(x)f ( x )의 최댓값은 33, 최솟값은 11이다. 따라서 구하는 값은 3+1=43 + 1 = 4

태그

#연속#삼각함수

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