삼각함수 곡선 넓이

[출제의도] 정적분의 치환적분법을 이해하여 곡선과 $\mathbf{x}$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

$\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$에서 $\sin ^{2} x \cos x = 0$의 해를 구하면 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$일 때 $\sin ^{2} x \cos x \geq 0$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} | {\sin ^{2} x \cos x} | dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {\sin ^{2} x \cos x} dx$ $\sin x = t$로 놓고 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \cos x = \frac{dt}{dx}$ $x = 0$이면 $t = 0$이고, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$이면 $t = 1$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {\sin ^{2} x \cos x} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} t ^{2} dt$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} t ^{3} \right] _{0} ^{1}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$