삼각함수 그래프와 직선의 교점 개수

$- 1 \leq \sin bx \leq 1$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $0$이고 최댓값은 $2 a$이다. 이때 $b$가 자연수이므로 (ⅰ) $b = 1$일 때 $f \left( x \right) = a \sin x + a$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $2 \pi$이다.

그림에서 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 2$는 서로 다른 네 점에서 만나지 않는다. (ⅱ) $b = 2$일 때 $f \left( x \right) = a \sin 2 x + a$이고 $f \left( x \right)$의 주기는 $\pi$이다.

그림에서 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 2$의 교점이 $4$개이려면 $a \ne 2$, $0 < 2 < 2 a$ 이어야 한다. 즉, 자연수 $a$의 최솟값은 $3$이므로 $ab$의 최솟값은 $3 \times 2 = 6$ (ⅲ) $b = 3$일 때 $f \left( x \right) = a \sin 3 x + a$이고 $f \left( x \right)$의 주기는 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$이다.

그림에서 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 2$는 서로 다른 네 점에서 만나지 않는다. (ⅳ) $b = 4$일 때 $f \left( x \right) = a \sin 4 x + a$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $\displaystyle \frac{1}{2} \pi$이다.

그림에서 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 2$의 교점이 $4$개이려면 $2 a = 2$, $a = 1$ 이어야 한다. 즉, 자연수 $a$의 최솟값은 $1$이므로 $ab$의 최솟값은 $1 \times 4 = 4$ (ⅴ) $b \geq 5$일 때 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 2$는 서로 다른 네 점에서 만나지 않는다. 이상에서 $ab$의 최솟값은 $4$이다.