삼각함수 극값 조건

[출제의도] 삼각함수의 극한과 미분을 활용하여 문제해결하기 $f \left( x \right)$$= a \cos x + x \sin x + b$에서 $f' \left( x \right)$$= \left( 1 - a \right) \sin x + x \cos x$ $\cos x$$= 0$이면 $\sin x$$\ne 0$이고 $a < 1$이므로 $f' \left( x \right)$$\ne 0$ 그러므로 $f' \left( x \right)$$= 0$이면 $\cos x$$\ne 0$이고 $f' \left( x \right)$$= 0$에서 $x \cos x$$= \left( a - 1 \right) \sin x$ $\tan x$$\displaystyle = \frac{x}{a - 1}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 함수 $y$$= \tan x$의 그래프와 직선 $y$$\displaystyle = \frac{x}{a - 1}$는 모두 원점에 대하여 대칭이고 $a < 1$에서 직선 $y$$\displaystyle = \frac{x}{a - 1}$의 기울기가 음수이므로 $- \pi < x < \pi$에서 함수 $y$$= \tan x$의 그래프와 직선 $y$$\displaystyle = \frac{x}{a - 1}$는 원점을 포함한 서로 다른 세 점에서 만난다. 조건 (가)에서 원점을 제외한 두 점의 $x$좌표는 $\alpha$, $\beta$이고 원점을 제외한 두 점은 원점에 대하여 대칭이므로 $\alpha$$= \mathit{-} \beta$이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{1}{\beta}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{\tan \beta - \tan \left( - \beta \right)}{\beta - \left( - \beta \right)}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{\tan \beta}{\beta}$ $\tan \beta$$= \mathit{-} 1$ $0 < \beta < \pi$이므로 $\beta$$\displaystyle = \frac{3}{4} \pi$, $\alpha$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{4} \pi$ ㉠에 $x$$\displaystyle = \frac{3}{4} \pi$를 대입하면 $\displaystyle \tan \frac{3}{4} \pi$$\displaystyle = \frac{3}{4 \left( a - 1 \right)} \pi$, $- 4 \left( a - 1 \right)$$= 3 \pi$ $a$$\displaystyle = 1 - \frac{3}{4} \pi$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2}}$$= c$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} x ^{2}$$= 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left( a \cos x + x \sin x + b \right)$$= a + b$$= 0$ $b$$= \mathit{-} a$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{a \left( \cos x - 1 \right) + x \sin x}{x ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left\{ \frac{a \left( \cos x - 1 \right)}{x ^{2}} + \frac{\sin x}{x} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left\{ \frac{a \left( \cos x - 1 \right) \left( \cos x + 1 \right)}{x ^{2} \left( \cos x + 1 \right)} + \frac{\sin x}{x} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left\{ \frac{a \sin ^{2} x}{x ^{2} \left( \cos x + 1 \right)} + \frac{\sin x}{x} \right\}$ $\displaystyle = - \frac{a}{2} + 1$$= c$ ㉡에서 $c$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{a}{2} + 1$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 1 - \frac{3}{4} \pi \right) + 1$$\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \pi$ 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{\beta \mathit{-} \alpha}{3} \right) + c$$\displaystyle = f \left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \pi$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \left( 1 - \frac{3}{4} \pi \right) + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \pi$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} + \frac{13}{8} \pi$$= p + q \pi$ 에서 $p$$\displaystyle = - \frac{1}{2}$, $q$$\displaystyle = \frac{13}{8}$이므로 $120 \times \left( p + q \right)$$= 135$