삼각함수 극값 합

[출제의도] 삼각함수의 미분을 활용하여 추론하기 $f' \left( x \right)$$= 2 \sin 2 x + 2 \left( 2 x - 3 n \right) \cos 2 x - \left( 4 x - 6 n \right) \cos 2 x$ $+ 2 \left( 2 x ^{2} - 6 nx + 4 n ^{2} - 1 \right) \sin 2 x$ $= \left( 4 x ^{2} - 12 nx + 8 n ^{2} \right) \sin 2 x$ $= 4 \left( x - n \right) \left( x - 2 n \right) \sin 2 x$ (ⅰ) $n = 1$일 때 열린 구간 $\left( 0 , 3 \right)$에서의 $f' \left( x \right) = 0$인 $x$의 값은 $x = 1$, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$, $x = 2$

$\displaystyle a _{1} = 3 + \frac{\pi}{2}$, $\cos a _{1} \ne 0$ (ⅱ) $n = 2$일 때 열린 구간 $\left( 3 , 6 \right)$에서의 $f' \left( x \right) = 0$인 $x$의 값은 $x = \pi$, $x = 4$, $\displaystyle x = \frac{3}{2} \pi$

$\displaystyle a _{2} = 4 + \frac{5}{2} \pi$, $\cos a _{2} \ne 0$ (ⅲ) $n = 3$일 때 열린 구간 $\left( 6 , 9 \right)$에서의 $f' \left( x \right) = 0$인 $x$의 값은 $x = 2 \pi$, $\displaystyle x = \frac{5}{2} \pi$

$\displaystyle a _{3} = \frac{9}{2} \pi$, $\cos a _{3} = 0$이므로 $l = 3$ (ⅳ) $n = 4$일 때 열린 구간 $\left( 9 , 12 \right)$에서의 $f' \left( x \right) = 0$인 $x$의 값은 $x = 3 \pi$, $\displaystyle x = \frac{7}{2} \pi$

$\displaystyle a _{4} = \frac{13}{2} \pi$ (ⅴ) $n = 5$일 때 열린 구간 $\left( 12 , 15 \right)$에서의 $f' \left( x \right) = 0$인 $x$의 값은 $x = 4 \pi$, $\displaystyle x = \frac{9}{2} \pi$

$\displaystyle a _{5} = \frac{17}{2} \pi$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{l + 2} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} = 7 + \frac{45}{2} \pi$