삼각함수 최대최소 합

[출제의도] 삼각함수의 합성을 활용하여 문제해결하기 $y = \sin 2 x + \sin x + \cos x$에서 $\sin x + \cos x = t$라 하면 $\displaystyle t = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$이므로 $\displaystyle - \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$이다. 또 $\sin 2 x = ( \sin x + \cos x ) ^{2} - 1 = t ^{2} - 1$이므로 $\displaystyle y = t ^{2} + t - 1 = \left( t + \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{5}{4}$$\displaystyle \left( - \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle t = \sqrt{2}$일 때 함수의 최댓값은 $\displaystyle 1 + \sqrt{2}$, $\displaystyle t = - \frac{1}{2}$일 때 함수의 최솟값은 $\displaystyle - \frac{5}{4}$이다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle \sqrt{2} - \frac{1}{4}$