대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각부등식 범위

문제

실수 k(0≤k≤2π)k \left( 0 \leq k \leq 2 \pi \right)에 대하여 −π≤x≤k- \pi \leq x \leq k에서 부등식 sin⁡x+cos⁡π8<0\displaystyle \sin x + \cos \frac{\pi}{8} < 0 을 만족시키는 모든 xx의 값의 범위가 −π−α<x<α- \pi - \alpha < x < \alpha 가 되도록 하는 kk의 최댓값은? [4점] ①58π\displaystyle \frac{5}{8} \pi②78π\displaystyle \frac{7}{8} \pi③98π\displaystyle \frac{9}{8} \pi④118π\displaystyle \frac{11}{8} \pi⑤138π\displaystyle \frac{13}{8} \pi

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④

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해설

sin⁡x+cos⁡π8<0\displaystyle \sin x + \cos \frac{\pi}{8} < 0에서 sin⁡x<−cos⁡π8\displaystyle \sin x < \mathit{-} \cos \frac{\pi}{8}이다. 한편 −cos⁡π8=−sin⁡(π2−π8)=−sin⁡38π=sin⁡(−38π)\displaystyle - \cos \frac{\pi}{8} = - \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) = - \sin \frac{3}{8} \pi = \sin \left( - \frac{3}{8} \pi \right)이므로 sin⁡x<−cos⁡π8\displaystyle \sin x < \mathit{-} \cos \frac{\pi}{8}의 해는 sin⁡x<sin⁡(−38π)\displaystyle \sin x < \sin \left( - \frac{3}{8} \pi \right)의 해와 같다. 한편 방정식 sin⁡x=sin⁡(−38π)\displaystyle \sin x = \sin \left( - \frac{3}{8} \pi \right)의 해는 함수 y=sin⁡xy = \sin x의 그래프가 직선 y=sin⁡(−38π)\displaystyle y = \sin \left( - \frac{3}{8} \pi \right)와 만나는 점의 xx좌표와 같다.

그러므로 −π≤x≤2π- \pi \leq x \leq 2 \pi에서 방정식 sin⁡x=sin⁡(−38π)\displaystyle \sin x = \sin \left( - \frac{3}{8} \pi \right)의 해는 x=−58π\displaystyle x = - \frac{5}{8} \pi 또는 x=−38π\displaystyle x = - \frac{3}{8} \pi 또는 x=118π\displaystyle x = \frac{11}{8} \pi 또는 x=138π\displaystyle x = \frac{13}{8} \pi이다. 따라서 −π≤x≤k- \pi \leq x \leq k에서 sin⁡x<sin⁡(−38π)\displaystyle \sin x < \sin \left( - \frac{3}{8} \pi \right)를 만족시키는 모든 xx의 값의 범위가 −π−α<x<α- \pi - \alpha < x < \alpha이기 위해서는 α=−38π\displaystyle \alpha = - \frac{3}{8} \pi이고 0≤k≤118π\displaystyle 0 \leq k \leq \frac{11}{8} \pi이어야 한다. 그러므로 kk의 최댓값은 118π\displaystyle \frac{11}{8} \pi이다.

태그

#삼각부등식#그래프

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