삼각부등식

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 $\left( 2 a + 6 \right) \cos x - a \sin ^{2} x + a + 12 < 0$ $\left( 2 a + 6 \right) \cos x - a \left( 1 - \cos ^{2} x \right) + a + 12 < 0$ $a \cos ^{2} x + \left( 2 a + 6 \right) \cos x + 12 < 0$ $\left( a \cos x + 6 \right) \left( \cos x + 2 \right) < 0$에서 $\cos x + 2 > 0$이므로 $a \cos x + 6 < 0$ $a > 0$이므로 $\displaystyle \cos x < \mathit{-} \frac{6}{a}$ $0 \leq x < 2 \pi$에서 부등식 $\displaystyle \cos x < \mathit{-} \frac{6}{a}$의 해가 존재하기 위해서는 $\displaystyle - \frac{6}{a} > \mathit{-} 1$이어야 한다. 따라서 $a > 6$이며 자연수 $a$의 최솟값은 $7$