대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각부등식

문제

0≤θ<2π0 \leq \theta < 2 \pi 일 때, xx에 대한 이차방정식 6x2+(4cos⁡θ)x+sin⁡θ=06 x ^{2} + ( 4 \cos \theta ) x + \sin \theta = 0 이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 θ\theta의 값의 범위는 α<θ<β\alpha < \theta < \beta 이다. 3α+β3 \alpha + \beta의 값은? [3점] ①56π\displaystyle \frac{5}{6} \pi②π\pi③76π\displaystyle \frac{7}{6} \pi④43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi⑤32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi

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④

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해설

[출제의도] 삼각부등식을 풀 수 있는가? 주어진 이차방정식의 판별식을 DD라 하면 실근을 갖지 않아야 하므로 D4=4cos⁡2θ−6sin⁡θ<0\displaystyle \frac{D}{4} = 4 \cos ^{2} \theta - 6 \sin \theta < 0 2sin⁡2θ+3sin⁡θ−2>02 \sin ^{2} \theta + 3 \sin \theta - 2 > 0 (2sin⁡θ−1)(sin⁡θ+2)>0( 2 \sin \theta - 1 ) ( \sin \theta + 2 ) > 0 sin⁡θ+2>0\sin \theta + 2 > 0이므로 sin⁡θ>12\displaystyle \sin \theta > \frac{1}{2}에서 π6<θ<56π\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5}{6} \pi 따라서 α=π6,β=56π\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6} , \beta = \frac{5}{6} \pi 이므로 3α+β=43π\displaystyle 3 \alpha + \beta = \frac{4}{3} \pi

태그

#판별식#삼각부등식

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