삼각방정식과 등비수열 조건의 결합

임의의 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle 0 < \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < \frac{7}{5}$ 조건 (다)에서 $\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = t$ $\displaystyle \left( 0 < t < \frac{7}{5} \right)$라 하면 $\displaystyle 2 \sin ^{2} t - 5 \sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) + 1 = 0$, $2 \left( 1 - \cos ^{2} t \right) - 5 \cos t + 1 = 0$, $2 \cos ^{2} t + 5 \cos t - 3 = 0$, $\left( 2 \cos t - 1 \right) \left( \cos t + 3 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle \cos t = \frac{1}{2}$ ($\because$ $- 1 < \cos t < 1$) 즉 $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{\pi}{3} a _{n}$ 조건 (가)에서 $a _{2} = \pi$이므로 $a _{1} = 3$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $3$이고 공비가 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$인 등비수열이므로 $\displaystyle a _{n} = 3 \times \left( \frac{\pi}{3} \right) ^{n - 1}$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{\left( a _{4} \right) ^{5}}{\left( a _{6} \right) ^{3}}$$\displaystyle = \frac{\left\{ 3 \times \left( \frac{\pi}{3} \right) ^{3} \right\} ^{5}}{\left\{ 3 \times \left( \frac{\pi}{3} \right) ^{5} \right\} ^{3}}$$= 3 ^{2}$$= 9$