삼각방정식 실근 조건

[출제의도] 삼각방정식 해의 존재조건 구하기 $\displaystyle \cos ^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$을 이용하면 주어진 방정식은 $3 \cos ^{2} x - 2 \cos x = 4 k - 7$이다. 이 방정식의 해는 두 함수 $y = 3 \cos ^{2} x - 2 \cos x$와 $y = 4 k - 7$의 그래프의 교점의 $x$좌표이다. $\cos x = t$로 치환하면 $y = 3 t ^{2} - 2 t$$( - 1 \leq t \leq 1 )$이고, $\displaystyle - \frac{1}{3} \leq y \leq 5$이므로 $\displaystyle - \frac{1}{3} \leq 4 k - 7 \leq 5$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{5}{3} \leq k \leq 3$ 이므로 $30 \alpha + \beta = 53$이다.