삼차식 나머지

[출제의도] 나머지 정리를 이용하여 이차식으로 나눈 나머지를 구한다. 삼차식 $f ( x )$를 $x ^{2} - 3 x + 2$로 나눈 몫을 $Q ( x )$라 하고 나머지를 $ax + b$라 하면 $f ( x ) = \left( x ^{2} - 3 x + 2 \right) Q ( x ) + ax + b$ $= ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q ( x ) + ax + b$ $\cdots$ ㉠ 한편, $f ( x + 1 ) = f ( x ) + x ^{2}$이므로 (ⅰ) $x = 0$을 대입하면 $f ( 1 ) = f ( 0 ) + 0 = 3$ ($\because f ( 0 ) = 3$) (ⅱ) $x = 1$을 대입하면 $f ( 2 ) = f ( 1 ) + 1 = 4$ ($\because f ( 1 ) = 3$) (ⅰ), (ⅱ)의 결과를 ㉠에 각각 대입하면 $f ( 1 ) = a + b = 3$ $\cdots$ ㉡ $f ( 2 ) = 2 a + b = 4$ $\cdots$ ㉢ ㉢-㉡에서 $a = 1$ $a$의 값을 ㉡에 대입하면 $b = 2$ 따라서 $a = 1 , b = 2$이므로 삼차식 $f ( x )$를 $x ^{2} - 3 x + 2$로 나눈 나머지는 $x + 2$이다.