삼차함수와 역함수 교점

[출제의도] 도함수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 함수 $g ( x )$가 함수 $f ( x )$의 역함수이고, 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$가 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$의 접점의 $x$좌표를 $k$라 하면 $f ( k ) = k$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} k ^{3} + a = k$ $f' ( k ) = 1$이므로 $k ^{2} = 1$이다. $k = 1$일 때 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$, $k = - 1$일 때 $\displaystyle a = - \frac{2}{3}$ 따라서 모든 상수 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle - \frac{4}{9}$