삼차함수와 x축이 둘러싼 영역에서 일차식의 최댓값

$f ( x ) = - x ^{3} - x ^{2} + x + 1$$= - ( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}$ 이고 영역 $A$는 다음 그림의 어두운 부분이다.

$3 x + 4 y$$= k$라 할 때, $k$는 위 그림과 같이 $- 1 \leq x \leq 1$인 범위에서 직선 $3 x + 4 y = k$가 함수 $y = f ( x )$에 접할 때 최대가 된다. 접점의 좌표를 $( a , f ( a ) )$라 할 때, $\displaystyle f' ( a ) = - 3 a ^{2} - 2 a + 1 = - \frac{3}{4}$에서 $12 a ^{2} + 8 a - 7 = ( 2 a - 1 ) ( 6 a + 7 ) = 0$ ∴ $a =$$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{9}{8}$이므로 접점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{9}{8} \right)$이다. ∴ $\displaystyle 3 x + 4 y \leq 3 a + 4 f ( a ) = 3 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{9}{8} = 6$