삼차함수와 직선의 교점

[출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + k$에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + 9 = 3 \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극댓값 $k + 4$, $x = 3$에서 극솟값 $k$를 갖는다. 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$a _{n}$은 직선 $y = 3 n$과 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 만나는 점의 개수이므로 $\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} 1 & & \left( 3 n < k \text{또는} 3 n > k + 4 \right) \\ 2 & & \left( 3 n = k \text{또는} 3 n = k + 4 \right) \\ 3 & & \left( k < 3 n < k + 4 \right) \end{cases}}$ 어떠한 실수 $k$에 대해서도 $k = 3 m$과 $k + 4 = 3 l$을 동시에 만족시키는 두 정수 $m$, $l$은 존재하지 않으므로 $a _{n} = 2$를 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $\mathrm{1}$ 이하이다. 또한 가능한 $a _{n}$의 값은 $1$, $2$, $3$뿐이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 7$이기 위해서는 네 수 $a _{1}$, $a _{2}$, $a _{3}$, $a _{4}$의 값 중 $\mathrm{1}$은 $\mathrm{2}$개, $\mathrm{2}$는 $\mathrm{1}$개, $\mathrm{3}$은 $\mathrm{1}$개이어야 한다. 그러므로 $a _{n} = 2$를 만족시키는 $n$의 개수는 $\mathrm{1}$이다. (ⅰ) $k$의 값이 $3$, $6$, $9$, $12$ 중 하나인 경우 $k = 3$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 2 + 3 + 1 + 1 = 7$ $k = 6$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 1 + 2 + 3 + 1 = 7$ $k = 9$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 1 + 1 + 2 + 3 = 7$ $k = 12$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 1 + 1 + 1 + 2 = 5 \neq 7$ (ⅱ) $k + 4$의 값이 $3$, $6$, $9$, $12$ 중 하나인 경우 $k + 4 = 3$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 2 + 1 + 1 + 1 = 5 \neq 7$ $k + 4 = 6$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 3 + 2 + 1 + 1 = 7$ $k + 4 = 9$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 1 + 3 + 2 + 1 = 7$ $k + 4 = 12$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} = 1 + 1 + 3 + 2 = 7$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $( 3 + 6 + 9 ) + ( 2 + 5 + 8 ) = 33$