삼차함수와 직선으로 만든 함수의 넓이 최대

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{9} x \left( x - 6 \right) \left( x - 9 \right)$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{9} \left( x ^{3} - 15 x ^{2} + 54 x \right)$ $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{1}{9} \left( 3 x ^{2} - 30 x + 54 \right) = \frac{1}{3} \left( x ^{2} - 10 x + 18 \right)$ 방정식 $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = 5 \pm \sqrt{7}$ $0 < t < 6$인 실수 $t$에 대하여 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) & \left( x < t \right) \\ - \left( x - t \right) + f \left( t \right) & \left( x \geq t \right) \end{cases}}$ 이다. $0 < x < 6$이고, $f' \left( x \right) = 0$인 실수 $x$의 값을 $k$라 하자. $f' \left( k \right) = 0$, $\displaystyle k = 5 - \sqrt{7}$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하자. (ⅰ) $0 < t < k$일 때 아래 그림에서 색칠한 도형의 넓이는 $S \left( t \right) \left( 0 < t < k \right)$이다.

아래 그림에서 색칠한 도형의 넓이는 $S \left( k \right)$이다.

$\cdots$$\cdots$ ㉠ 위의 그림에 의하여 $0 < t < k$인 모든 실수 $t$에 대하여 $S \left( t \right) < S \left( k \right)$ 이다. (ⅱ) $k \leq t < 6$일 때 직선 $y = - \left( x - t \right) + f \left( t \right)$의 기울기는 $- 1$이다. $k \leq x < 6$에서 $f' \left( x \right) = - 1$인 실수 $x$를 $a$라 하자. $f' \left( a \right) = - 1 \left( k \leq a < 6 \right)$ $\displaystyle f' \left( a \right) = - 1 \left( 5 - \sqrt{7} \leq a < 6 \right)$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \left( a ^{2} - 10 a + 18 \right) = - 1$, $a ^{2} - 10 a + 21 = 0$ $\displaystyle 5 - \sqrt{7} \leq a < 6$이므로 $a = 3$ 따라서 $f' \left( 3 \right) = - 1$이다. 아래 그림에서 색칠한 도형의 넓이는 $S \left( 3 \right)$이다.

$g' \left( t \right) \ne - 1$, $k \leq t < 6$인 실수 $t$에 대하여 색칠한 도형의 넓이는 다음 두 그림과 같다. ($1$) $k < t < 3$일 때

($2$) $3 < t < 6$일 때

($1$), ($2$)와 ㉠에 의하여 $0 < t < 6$인 실수 $t$에 대하여 $S \left( t \right)$의 값의 최댓값은 $S \left( 3 \right)$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $S \left( t \right)$의 값의 최댓값은 $S \left( 3 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{9} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} f \left( x \right) dx + \int _{3} ^{9} {} \left\{ - \left( x - t \right) + f \left( t \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{9} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - 5 x ^{3} + 27 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{3} + \frac{1}{2} \times 6 ^{2}$ $\displaystyle = \frac{129}{4}$ [다른 풀이] 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{9} x \left( x - 6 \right) \left( x - 9 \right)$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{9} \left( x ^{3} - 15 x ^{2} + 54 x \right)$ $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{1}{9} \left( 3 x ^{2} - 30 x + 54 \right) = \frac{1}{3} \left( x ^{2} - 10 x + 18 \right)$ 방정식 $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = 5 \pm \sqrt{7}$ $0 < t < 6$인 실수 $t$에 대하여 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) & \left( x < t \right) \\ - \left( x - t \right) + f \left( t \right) & \left( x \geq t \right) \end{cases}}$ 이다. 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하자.

위의 그림에서 색칠한 도형의 넓이가 $S \left( t \right)$이다. $S \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t + f \left( t \right)} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{t} {} g \left( x \right) dx + \int _{t} ^{t + f \left( t \right)} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{t} {} f \left( x \right) dx + \frac{1}{2} \left\{ f \left( t \right) \right\} ^{2}$ 이므로 $S' \left( t \right)$$= f \left( t \right) + f \left( t \right) f' \left( t \right)$$= f \left( t \right) \left\{ f' \left( t \right) + 1 \right\}$ $S' \left( t \right) = 0$에서 $f \left( t \right) = 0$ 또는 $f' \left( t \right) + 1 = 0$ $0 < t < 6$인 모든 실수 $t$에 대하여 $f \left( t \right) > 0$이다. $f' \left( t \right) + 1 = 0$에서 $\displaystyle \frac{1}{3} \left( t ^{2} - 10 t + 18 \right) = - 1$ $0 < t < 6$이므로 $f' \left( t \right) + 1 = 0$에서 $t = 3$ $0 < t < 6$에서 함수 $S \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $S \left( t \right)$의 최댓값은 $S \left( 3 \right)$이다. $S \left( 3 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{9} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} f \left( x \right) dx + \int _{3} ^{9} {} \left\{ - \left( x - t \right) + f \left( t \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{9} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - 5 x ^{3} + 27 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{3} + \frac{1}{2} \times 6 ^{2}$ $\displaystyle = \frac{129}{4}$