삼차함수와 직선 교점 보기

실수 $t$에 대하여 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = \mathit{-} x + t$의 교점의 개수는 두 곡선 $y = f ( x ) + x$와 $y = t$의 교점의 개수와 동일하다. $h ( x ) = f ( x ) + x$라 하면 $h ( x )$도 삼차함수이다. ㄱ. $h ( x ) = x ^{3} + x$를 미분하면 $h' ( x ) = 3 x ^{2} + 1 > 0$이므로 $h ( x )$는 증가함수이다. 따라서 $y = t$와의 교점은 항상 $1$개다. ㄴ. $g ( t ) = 2$일 때, $y = h ( x )$와 $y = t$의 그래프는 아래의 네 가지 경우 중 하나이다.

따라서 $g ( t ) = 3$인 경우가 존재한다. ㄷ. [반례] $f ( x ) = x ^{3} - x$라 하면 $h ( x ) = x ^{3}$은 증가함수이므로 모든 실수 $t$에 대하여 $g ( t ) = 1$이다. 그런데 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \mathit{\pm} \frac{1}{\sqrt{3}}$에서 극값을 갖는다.