삼차함수와 접하는 직선

직선 $y = 5 x + k$와 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선 $y = 5 x + k$가 함수 $y = f ( x )$의 그래프에 접해야 한다 $f ( x ) = x ( x + 1 ) ( x - 4 ) = x ^{3} - 3 x ^{2} - 4 x$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 x - 4$ 이므로 정점의 $x$좌표를 $a$라 하면 $f' ( x ) = 3 a ^{2} - 6 a - 4 = 5$ 즉, $3 a ^{2} - 6 a - 9 = 0$이므로 $3 ( a + 1 ) ( a - 3 ) = 0 \therefore a = - 1 ( \because k > 0 )$ 따라서, $f ( - 1 ) = 0$이므로 직선 $y = 5 x + k$는 점$( - 1 , 0 )$을 지난다. $\therefore k = y - 5 x = 0 + 5 = 5$